第十三讲：复习一
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令\(u, v, w\)是\(\mathbb{R}^7\)空间内的非零向量：则\(u, v, w\)生成的向量空间可能是\(1, 2, 3\)维的。
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有一个\(5 \times 3\)矩阵\(U\)，该矩阵为阶梯矩阵（echelon form），有\(3\)个主元：则能够得到该矩阵的秩为\(3\)，即三列向量线性无关，不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量，所以该矩阵的零空间应为\(\begin{bmatrix}0\\0\\0\\ \end{bmatrix}\)。
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接上一问，有一个\(10 \times 3\)矩阵\(B=\begin{bmatrix}U\\2U \end{bmatrix}\)，则化为最简形式（阶梯矩阵）应为\(\begin{bmatrix}U\\0 \end{bmatrix}\)，\(rank(B)=3\)。
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接上一问，有一个矩阵型为\(C=\begin{bmatrix}U & U \\ U & 0 \end{bmatrix}\)，则化为最简形式应为\(\begin{bmatrix}U & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}\)，\(rank(C)=6\)。矩阵\(C\)为\(10 \times 6\)矩阵，\(dim N(C^T)=m-r=4\)。
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有\(Ax=\begin{bmatrix}2\\4\\2\\ \end{bmatrix}\)，并且\(x=\begin{bmatrix}2\\0\\0\\ \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\0\\ \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}\)，则等号右侧\(b\)向量的列数应为\(A\)的行数，且解的列数应为\(A\)的列数，所以\(A\)是一个\(3 \times 3\)矩阵。从解的结构可知自由元有两个，则\(rank(A)=1, dim N(A)=2\)。从解的第一个向量得出，矩阵\(A\)的第一列是\(\begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}\)；解的第二个向量在零空间中，说明第二列与第一列符号相反，所以矩阵第二列是\(\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1 \end{bmatrix}\)；解的第三个向量在零空间中，说明第三列为零向量；综上，\(A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}\)。
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接上一问，如何使得\(Ax=b\)有解？即使\(b\)在矩阵\(A\)的列空间中。易知\(A\)的列空间型为\(c\begin{bmatrix}1\\2\\1\\ \end{bmatrix}\)，所以使\(b\)为向量\(\begin{bmatrix}1\\2\\1\\ \end{bmatrix}\)的倍数即可。
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有一方阵的零空间中只有零向量，则其左零空间也只有零向量。
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由\(5 \times 5\)矩阵组成的矩阵空间，其中的可逆矩阵能否构成子空间？两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆，况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵（singular matrix，非可逆矩阵）也不能组成子空间，因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。
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如果\(B^2=0\)，并不能得出\(B=0\)，反例：\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}\)，这个矩阵经常会被用作反例。
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\(n \times n\)矩阵的列向量线性无关，则是否\(\forall b, Ax=b\)有解？是的，因为方阵各列线性无关，所以方阵满秩，它是可逆矩阵，肯定有解。
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有 $ B= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \ 0 & 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \(，在不解出\)B\(的情况下，求\)B\(的零空间。可以观察得出前一个矩阵是可逆矩阵，设\)B=CD\(，则求零空间\)Bx=0, CDx=0\(，而\)C\(是可逆矩阵，则等式两侧同时乘以\)C^{-1}\(有\)C^{-1}CDx=Dx=0\(，所以当\)C\(为可逆矩阵时，有\)N(CD)=N(D)\(，即左乘逆矩阵不会改变零空间。本题转化为求\)D\(的零空间，\)N(B)\(的基为 \(\begin{bmatrix}-F\\I\\ \end{bmatrix}\)，也就是\)\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix}$
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接上题，求\(Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1\\ \end{bmatrix}\)的通解。观察\(B=CD\)，易得\(B\)矩阵的第一列为\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\\ \end{bmatrix}\)，恰好与等式右边一样，所以\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix}\)可以作为通解中的特解部分，再利用上一问中求得的零空间的基，得到通解 $ x= \begin{bmatrix}1\0\0\0\ \end{bmatrix}+ c_1\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix} $
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对于任意方阵，其行空间等于列空间？不成立，可以使用\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}\)作为反例，其行空间是向量\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ \end{bmatrix}\)的任意倍数，而列空间是向量\(\begin{bmatrix}1 & 0\\ \end{bmatrix}\)的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵，则成立。
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\(A\)与\(-A\)的四个基本子空间相同。
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如果\(A, B\)的四个基本子空间相同，则\(A, B\)互为倍数关系。不成立，如任意两个\(n\)阶可逆矩阵，他们的列空间、行空间均为\(\mathbb{R}^n\)，他们的零空间、左零空间都只有零向量，所以他们的四个基本子空间相同，但是并不一定具有倍数关系。
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如果交换矩阵的某两行，则其行空间与零空间保持不变，而列空间与左零空间均已改变。
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为什么向量\(v=\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}\)不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中？令\(A\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix}\)，很明显矩阵\(A\)中不能出现值为\(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)的行向量，否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交（perpendicular）的概念，矩阵的行空间与零空间正交，它们仅共享零向量。
