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第八讲:求解\(Ax=b\):可解性和解的结构

举例,同上一讲:\(3 \times 4\)矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \(,求\)Ax=b$的特解:

写出其增广矩阵(augmented matrix)\(\left[\begin{array}{c|c}A & b\end{array}\right]\)

\[ \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right] \underrightarrow{消元} \left[ \begin{array}{c c c c|c} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-2b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b_3-b_2-b_1 \\ \end{array} \right] \]

显然,有解的必要条件为\(b_3-b_2-b_1=0\)

讨论\(b\)满足什么条件才能让方程\(Ax=b\)有解(solvability condition on b):当且仅当\(b\)属于\(A\)的列空间时。另一种描述:如果\(A\)的各行线性组合得到\(0\)行,则\(b\)端分量做同样的线性组合,结果也为\(0\)时,方程才有解。

解法:令所有自由变量取\(0\),则有$ \Big\lbrace \begin{eqnarray} x_1 & + & 2x_3 & = & 1 \ & & 2x_3 & = & 3 \ \end{eqnarray} $ ,解得 $ \Big\lbrace \begin{eqnarray} x_1 & = & -2 \ x_3 & = & \frac{3}{2} \ \end{eqnarray} $ ,代入\(Ax=b\)求得特解 $ x_p= \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0 \end{bmatrix} $。

\(Ax=b\)成立的所有解:

\[ \Big\lbrace \begin{eqnarray} A & x_p & = & b \\ A & x_n & = & 0 \\ \end{eqnarray} \quad \underrightarrow{两式相加} \quad A(x_p+x_n)=b \]

\(Ax=b\)的解集为其特解加上零空间,对本例有: $ x_{complete}= \begin{bmatrix} -2 \ 0 \ \frac{3}{2} \ 0 \end{bmatrix} + c_1\begin{bmatrix}-2\1\0\0\\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}2\0\-2\1\\end{bmatrix} $

对于\(m \times n\)矩阵\(A\),有矩阵\(A\)的秩\(r \leq min(m, n)\)

列满秩\(r=n\)情况: $ A= \begin{bmatrix} 1 & 3 \ 2 & 1 \ 6 & 1 \ 5 & 1 \ \end{bmatrix} $ ,\(rank(A)=2\),要使\(Ax=b, b \neq 0\)有非零解,\(b\)必须取\(A\)中各列的线性组合,此时A的零空间中只有\(0\)向量。

行满秩\(r=m\)情况: $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 5 \ 3 & 1 & 1 & 1 \ \end{bmatrix} $ ,\(rank(A)=2\)\(\forall b \in R^m都有x \neq 0的解\),因为此时\(A\)的列空间为\(R^m\)\(b \in R^m\)恒成立,组成\(A\)的零空间的自由变量有n-r个。

行列满秩情况:\(r=m=n\),如 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix} $ ,则\(A\)最终可以化简为\(R=I\),其零空间只包含\(0\)向量。

总结:

\[\begin{array}{c|c|c|c}r=m=n&r=n\lt m&r=m\lt n&r\lt m,r\lt n\\R=I&R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}&R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}\\1\ solution&0\ or\ 1\ solution&\infty\ solution&0\ or\ \infty\ solution\end{array}\]


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