第六讲：列空间和零空间

对向量子空间 $S$ 和 $T$ ，有 $S \cap T$ 也是向量子空间。

对 $m \times n$ 矩阵 $A$ ， $n \times 1$ 矩阵 $x$ ， $m \times 1$ 矩阵 $b$ ，运算 $A x = b$ ：

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 (n - 1)} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 (n - 1)} & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m (n - 1)} & a_{m n} \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n - 1} \\ x_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}]

由 $A$ 的列向量生成的子空间为 $A$ 的列空间；

$A x = b$ 有非零解当且仅当 $b$ 属于 $A$ 的列空间

A的零空间是 $A x = 0$ 中 $x$ 的解组成的集合。