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第十三讲:复习一

  1. \(u, v, w\)\(\mathbb{R}^7\)空间内的非零向量:则\(u, v, w\)生成的向量空间可能是\(1, 2, 3\)维的。

  2. 有一个\(5 \times 3\)矩阵\(U\),该矩阵为阶梯矩阵(echelon form),有\(3\)个主元:则能够得到该矩阵的秩为\(3\),即三列向量线性无关,不存在非零向量使得三列的线性组合为零向量,所以该矩阵的零空间应为\(\begin{bmatrix}0\\0\\0\\ \end{bmatrix}\)

  3. 接上一问,有一个\(10 \times 3\)矩阵\(B=\begin{bmatrix}U\\2U \end{bmatrix}\),则化为最简形式(阶梯矩阵)应为\(\begin{bmatrix}U\\0 \end{bmatrix}\)\(rank(B)=3\)

  4. 接上一问,有一个矩阵型为\(C=\begin{bmatrix}U & U \\ U & 0 \end{bmatrix}\),则化为最简形式应为\(\begin{bmatrix}U & 0 \\ 0 & U \end{bmatrix}\)\(rank(C)=6\)。矩阵\(C\)\(10 \times 6\)矩阵,\(dim N(C^T)=m-r=4\)

  5. \(Ax=\begin{bmatrix}2\\4\\2\\ \end{bmatrix}\),并且\(x=\begin{bmatrix}2\\0\\0\\ \end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\0\\ \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\0\\1 \end{bmatrix}\),则等号右侧\(b\)向量的列数应为\(A\)的行数,且解的列数应为\(A\)的列数,所以\(A\)是一个\(3 \times 3\)矩阵。从解的结构可知自由元有两个,则\(rank(A)=1, dim N(A)=2\)。从解的第一个向量得出,矩阵\(A\)的第一列是\(\begin{bmatrix}1\\2\\1 \end{bmatrix}\);解的第二个向量在零空间中,说明第二列与第一列符号相反,所以矩阵第二列是\(\begin{bmatrix}-1\\-2\\-1 \end{bmatrix}\);解的第三个向量在零空间中,说明第三列为零向量;综上,\(A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\ 2 & -2 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ \end{bmatrix}\)

  6. 接上一问,如何使得\(Ax=b\)有解?即使\(b\)在矩阵\(A\)的列空间中。易知\(A\)的列空间型为\(c\begin{bmatrix}1\\2\\1\\ \end{bmatrix}\),所以使\(b\)为向量\(\begin{bmatrix}1\\2\\1\\ \end{bmatrix}\)的倍数即可。

  7. 有一方阵的零空间中只有零向量,则其左零空间也只有零向量。

  8. \(5 \times 5\)矩阵组成的矩阵空间,其中的可逆矩阵能否构成子空间?两个可逆矩阵相加的结果并不一定可逆,况且零矩阵本身并不包含在可逆矩阵中。其中的奇异矩阵(singular matrix,非可逆矩阵)也不能组成子空间,因为其相加的结果并不一定能够保持不可逆。

  9. 如果\(B^2=0\),并不能得出\(B=0\),反例:\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}\)这个矩阵经常会被用作反例

  10. \(n \times n\)矩阵的列向量线性无关,则是否\(\forall b, Ax=b\)有解?是的,因为方阵各列线性无关,所以方阵满秩,它是可逆矩阵,肯定有解。

  11. 有 $ B= \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 1 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 \ 0 & 1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \(,在不解出\)B\(的情况下,求\)B\(的零空间。可以观察得出前一个矩阵是可逆矩阵,设\)B=CD\(,则求零空间\)Bx=0, CDx=0\(,而\)C\(是可逆矩阵,则等式两侧同时乘以\)C^{-1}\(有\)C^{-1}CDx=Dx=0\(,所以当\)C\(为可逆矩阵时,有\)N(CD)=N(D)\(,即左乘逆矩阵不会改变零空间。本题转化为求\)D\(的零空间,\)N(B)\(的基为 \(\begin{bmatrix}-F\\I\\ \end{bmatrix}\),也就是\)\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix}$

  12. 接上题,求\(Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1\\ \end{bmatrix}\)的通解。观察\(B=CD\),易得\(B\)矩阵的第一列为\(\begin{bmatrix}1\\0\\1\\ \end{bmatrix}\),恰好与等式右边一样,所以\(\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\\ \end{bmatrix}\)可以作为通解中的特解部分,再利用上一问中求得的零空间的基,得到通解 $ x= \begin{bmatrix}1\0\0\0\ \end{bmatrix}+ c_1\begin{bmatrix}1\-1\1\0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}-2\1\0\1\end{bmatrix} $

  13. 对于任意方阵,其行空间等于列空间?不成立,可以使用\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\\ \end{bmatrix}\)作为反例,其行空间是向量\(\begin{bmatrix}0 & 1\\ \end{bmatrix}\)的任意倍数,而列空间是向量\(\begin{bmatrix}1 & 0\\ \end{bmatrix}\)的任意倍数。但是如果该方阵是对称矩阵,则成立。

  14. \(A\)\(-A\)的四个基本子空间相同。

  15. 如果\(A, B\)的四个基本子空间相同,则\(A, B\)互为倍数关系。不成立,如任意两个\(n\)阶可逆矩阵,他们的列空间、行空间均为\(\mathbb{R}^n\),他们的零空间、左零空间都只有零向量,所以他们的四个基本子空间相同,但是并不一定具有倍数关系。

  16. 如果交换矩阵的某两行,则其行空间与零空间保持不变,而列空间与左零空间均已改变。

  17. 为什么向量\(v=\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}\)不能同时出现在矩阵的行空间与零空间中?令\(A\begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0 \end{bmatrix}\),很明显矩阵\(A\)中不能出现值为\(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \end{bmatrix}\)的行向量,否则无法形成等式右侧的零向量。这里引入正交(perpendicular)的概念,矩阵的行空间与零空间正交,它们仅共享零向量。



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