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第七讲：求解\(Ax=0\)，主变量，特解

举例：\(3 \times 4\)矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \(，求\)Ax=0$的特解：

找出主变量（pivot variable）： $$ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2\ 2 & 4 & 6 & 8\ 3 & 6 & 8 & 10\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} =U $$

主变量（pivot variable，下划线元素）的个数为2，即矩阵\(A\)的秩（rank）为2，即\(r=2\)。

主变量所在的列为主列（pivot column），其余列为自由列（free column）。

自由列中的变量为自由变量（free variable），自由变量的个数为\(n-r=4-2=2\)。

通常，给自由列变量赋值，去求主列变量的值。如，令\(x_2=1, x_4=0\)求得特解 \(x=c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\\\end{bmatrix}\)； 再令\(x_2=0, x_4=1\)求得特解 \(x=c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\\\end{bmatrix}\)。

该例还能进一步简化，即将\(U\)矩阵化简为\(R\)矩阵（Reduced row echelon form），即简化行阶梯形式。

在简化行阶梯形式中，主元上下的元素都是\(0\)： $$ U= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 2 & 2\ 0 & 0 & \underline{2} & 4\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\ 0 & 0 & 0 & 0\ \end{bmatrix} =R $$

将\(R\)矩阵中的主变量放在一起，自由变量放在一起（列交换），得到

\[ R= \begin{bmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & \underline{1} & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix} \underrightarrow{列交换} \left[ \begin{array}{c c | c c} 1 & 0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \textrm{，其中}I\textrm{为单位矩阵，}F\textrm{为自由变量组成的矩阵} \]

计算零空间矩阵\(N\)（nullspace matrix），其列为特解，有\(RN=0\)。

\[ x_{pivot}=-Fx_{free} \\ \begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}=0 \\ N=\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix} \]

在本例中 $ N= \begin{bmatrix} -2 & 2 \ 0 & -2 \ 1 & 0 \ 0 & 1 \ \end{bmatrix} \(，与上面求得的两个\)x$特解一致。

另一个例子，矩阵 $ A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 4 & 6 \ 2 & 6 & 8 \ 2 & 8 & 10 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & 2 & 2 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \underrightarrow{化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} =R $

矩阵的秩仍为\(r=2\)，有\(2\)个主变量，\(1\)个自由变量。

同上一例，取自由变量为\(x_3=1\)，求得特解 $ x=c \begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 \ \end{bmatrix} $

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