第十一讲：矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
矩阵空间
接上一讲，使用\(3 \times 3\)矩阵举例，其矩阵空间记为\(M\)。
则\(M\)的一组基为： $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ \end{bmatrix} \ $
易得，\(dim M=9\)。
所以可以得出，对上讲中的三阶对称矩阵空间有\(dim S=6\)、上三角矩阵空间有\(dim U=6\)、对角矩阵空间有\(dim D=3\)
求并（intersect）：\(S \cup U=D, dim(S \cup U)=9\)；
求交（sum）：\(S \cap U=M, dim(S \cap U)=3\)；
可以看出：\(dim S + dim U=12=dim(S \cup U) + dim(S \cap U)\)。
另一个例子来自微分方程：
\(\frac{d^2y}{dx^2}+y=0\)，即\(y''+y=0\)
方程的解有：\(y=\cos{x}, \quad y=\sin{x}, \quad y=e^{ix}, \quad y=e^{-ix}\)等等（\(e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}, \quad e^{-ix}=\cos{x}-i\sin{x}\)）
而该方程的所有解：\(y=c_1 \cos{x} + c_2 \sin{x}\)。
所以，该方程的零空间的一组基为\(\cos{x}, \sin{x}\)，零空间的维数为\(2\)。同理\(e^{ix}, e^{-ix}\)可以作为另一组基。
秩一矩阵
\(2 \times 3\)矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&4&5\\2&8&10\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&4&5\end{bmatrix}\)。
且\(dimC(A)=1=dimC(A^T)\)，所有的秩一矩阵都可以划为\(A=UV^T\)的形式，这里的\(U, V\)均为列向量。
秩一矩阵类似“积木”，可以搭建任何矩阵，如对于一个\(5 \times 17\)秩为\(4\)的矩阵，只需要\(4\)个秩一矩阵就可以组合出来。
令\(M\)代表所有\(5 \times 17\)，\(M\)中所有秩\(4\)矩阵组成的集合并不是一个子空间，通常两个秩四矩阵相加，其结果并不是秩四矩阵。
现在，在\(\mathbb{R}^4\)空间中有向量\(v=\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}\)，取\(\mathbb{R}^4\)中满足\(v_1+v_2+v_3+v_4=0\)的所有向量组成一个向量空间\(S\)，则\(S\)是一个向量子空间。
易看出，不论是使用系数乘以该向量，或是用两个满足条件的向量相加，其结果仍然落在分量和为零的向量空间中。
求\(S\)的维数：
从另一个角度看，\(v_1+v_2+v_3+v_4=0\)等价于\(\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\\v_4\end{bmatrix}=0\)，则\(S\)就是\(A=\begin{bmatrix}1&1&1&1\end{bmatrix}\)的零空间。
\(rank(A)=1\)，则对其零空间有\(rank(N(A))=n-r=3=dim N(A)\)，则\(S\)的维数是\(3\)。
顺便看一下\(1 \times 4\)矩阵\(A\)的四个基本子空间：
行空间：\(dim C(A^T)=1\)，其中的一组基是\(\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}\)；
零空间：\(dim N(A)=3\)，其中的一组基是\(\begin{bmatrix}-1\\1\\0\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1\\0\\0\\1\end{bmatrix}\)
列空间：\(dim C(A)=1\)，其中一组基是\(\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}\)，可以看出列空间就是整个\(\mathbb{R}^1\)空间。
左零空间：\(dim N(A^T)=0\)，因为\(A\)转置后没有非零的\(v\)可以使\(Av=0\)成立，就是\(\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}\)。
综上，\(dim C(A^T)+dim N(A)=4=n, dim C(A)+dim N(A^T)=1=m\)
小世界图
图（graph）由节点（node）与边（edge）组成。
假设，每个人是图中的一个节点，如果两个人为朋友关系，则在这两个人的节点间添加一条边，通常来说，从一个节点到另一个节点只需要不超过\(6\)步（即六条边）即可到达。
