第二十讲：克拉默法则、逆矩阵、体积
本讲主要介绍逆矩阵的应用。
求逆矩阵
我们从逆矩阵开始，对于二阶矩阵有\(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)。观察易得，系数项就是行列式的倒数，而矩阵则是由一系列代数余子式组成的。先给出公式：
观察这个公式是如何运作的，化简公式得\(AC^T=(\det A)I\)，写成矩阵形式有\(\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}C_{11}&\cdots&C_{n1}\\C_{12}&\cdots&C_{n2}\\\vdots&\ddots&\vdots\\C_{1n}&\cdots&C_{nn}\end{bmatrix}=Res\)
对于这两个矩阵的乘积，观察其结果的元素\(Res_{11}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots+a_{1n}C_{1n}\)，这正是上一讲提到的将行列式按第一行展开的结果。同理，对\(Res_{22}, \cdots, Res_{nn}\)都有\(Res_{ii}=\det A\)，即对角线元素均为\(\det A\)。
再来看非对角线元素：回顾二阶的情况，如果用第一行乘以第二行的代数余子式\(a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}\)，得到\(a(-b)+ab=0\)。换一种角度看问题，\(a(-b)+ab=0\)也是一个矩阵的行列式值，即\(A_{s}=\begin{bmatrix}a&b\\a&b\end{bmatrix}\)。将\(\det A_{s}\)按第二行展开，也会得到\(\det A_{s}=a(-b)+ab\)，因为行列式有两行相等所以行列式值为零。
推广到\(n\)阶，我们来看元素\(Res_{1n}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}\)，该元素是第一行与最后一行的代数余子式相乘之积。这个式子也可以写成一个特殊矩阵的行列式，即矩阵\(A_{s}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n-a1}&a_{n-12}&\cdots&a_{n-1n}\\a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\end{bmatrix}\)。计算此矩阵的行列式，将\(\det A_{s}\)按最后一行展开，也得到\(\det A_{s}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\cdots+a_{1n}C_{nn}\)。同理，行列式\(A_{s}\)有两行相等，其值为零。
结合对角线元素与非对角线元素的结果，我们得到\(Res=\begin{bmatrix}\det A&0&\cdots&0\\0&\det A&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\det A\end{bmatrix}\)，也就是\((1)\)等式右边的\((\det A)I\)，得证。
求解\(Ax=b\)
因为我们现在有了逆矩阵的计算公式，所以对\(Ax=b\)有\(x=A^{-1}b=\frac{1}{\det A}C^Tb\)，这就是计算\(x\)的公式，即克莱默法则（Cramer's rule）。
现在来观察\(x=\frac{1}{\det A}C^Tb\)，我们将得到的解拆分开来，对\(x\)的第一个分量有\(x_1=\frac{y_1}{\det A}\)，这里\(y_1\)是一个数字，其值为\(y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}\)，每当我们看到数字与代数余子式乘之积求和时，都应该联想到求行列式，也就是说\(y_1\)可以看做是一个矩阵的行列式，我们设这个矩阵为\(B_1\)。所以有\(x_i=\frac{\det B_1}{\det A}\)，同理有\(x_2=\frac{\det B_2}{\det A}\)，\(x_2=\frac{\det B_2}{\det A}\)。
而\(B_1\)是一个型为\(\Bigg[b a_2 a_3 \cdots a_n\Bigg]\)的矩阵，即将矩阵\(A\)的第一列变为\(b\)向量而得到的新矩阵。其实很容易看出，\(\det B_1\)可以沿第一列展开得到\(y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\cdots+b_nC_{n1}\)。
一般的，有\(B_j=\Bigg[a_1 a_2 \cdots a_{j-1} b a_{j+1} \cdots a_n\Bigg]\)，即将矩阵\(A\)的第\(j\)列变为\(b\)向量而得到的新矩阵。所以，对于解的分量有\(x_j=\frac{\det B_j}{\det A}\)。
这个公式虽然很漂亮，但是并不方便计算。
关于体积（Volume）
先提出命题：行列式的绝对值等于一个箱子的体积。
来看三维空间中的情形，对于\(3\)阶方阵\(A\)，取第一行\((a_1,a_2,a_3)\)，令其为三维空间中点\(A_1\)的坐标，同理有点\(A_2, A_3\)。连接这三个点与原点可以得到三条边，使用这三条边展开得到一个平行六面体，\(\left\|\det A\right\|\)就是该平行六面体的体积。
对于三阶单位矩阵，其体积为\(\det I=1\)，此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也证明了前面学过的行列式性质1。于是我们想，如果能接着证明性质2、3即可证明体积与行列式的关系。
对于行列式性质2，我们交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变，得证。
现在我们取矩阵\(A=Q\)，而\(Q\)是一个标准正交矩阵，此时这个箱子是一个立方体，可以看出其实这个箱子就是刚才的单位立方体经过旋转得到的。对于标准正交矩阵，有\(Q^TQ=I\)，等式两边取行列式得\(\det(Q^TQ)=1=\left|Q^T\right|\left|Q\right|\)，而根据行列式性质10有\(\left|Q^T\right|=\left|Q\right|\)，所以\(原式=\left|Q\right|^2=1, \left|Q\right|=\pm 1\)。
接下来在考虑不再是“单位”的立方体，即长方体。 假设\(Q\)矩阵的第一行翻倍得到新矩阵\(Q_2\)，此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子，也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍，而根据行列式性质3.a有\(\det Q_2=\det Q\)，于是体积也符合行列式的数乘性质。
我们来看二阶方阵的情形，\(\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a'&b'\\c&d\end{vmatrix}\)。在二阶情况中，行列式就是一个求平行四边形面积的公式，原来我们求由四个点\((0,0), (a,b), (c,d), (a+c,b+d)\)围成的四边形的面积，需要先求四边形的底边长，再做高求解，现在只需要计算\(\det A=ad-bc\)即可（更加常用的是求由\((0,0), (a,b), (c,d)\)围成的三角形的面积，即\(\frac{1}{2}ad-bc\)）。也就是说，如果知道了歪箱子的顶点坐标，求面积（二阶情形）或体积（三阶情形）时，我们不再需要开方、求角度，只需要计算行列式的值就行了。
再多说两句我们通过好几讲得到的这个公式，在一般情形下，由点\((x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)\)围成的三角形面积等于\(\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\x_3&y_3&1\end{vmatrix}\)，计算时分别用第二行、第三行减去第一行化简到第三列只有一个\(1\)（这个操作实际作用是将三角形移动到原点），得到\(\frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\x_2-x_1&y_2-y_1&0\\x_3-x_1&y_3-y_1&0\end{vmatrix}\)，再按照第三列展开，得到三角形面积等于\(\frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)}{2}\)。
