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第二十二讲：对角化和\(A\)的幂

对角化矩阵

上一讲我们提到关键方程\(Ax=\lambda x\)，通过\(\det(A-\lambda I)=0\)得到特征向量\(\lambda\)，再带回关键方程算出特征向量\(x\)。

在得到特征值与特征向量后，该如何使用它们？我们可以利用特征向量来对角化给定矩阵。

有矩阵\(A\)，它的特征向量为\(x_1, x_2, \cdots, x_n\)，使用特征向量作为列向量组成一个矩阵\(S=\Bigg[x_1x_2\cdots x_n\Bigg]\)，即特征向量矩阵， 再使用公式\(\(S^{-1}AS=\Lambda\tag{1}\)\)将\(A\)对角化。注意到公式中有\(S^{-1}\)，也就是说特征向量矩阵\(S\)必须是可逆的，于是我们需要\(n\)个线性无关的特征向量。

现在，假设\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量，将它们按列组成特征向量矩阵\(S\)，则\(AS=A\Bigg[x_1x_2\cdots x_n\Bigg]\)，当我们分开做矩阵与每一列相乘的运算时，易看出\(Ax_1\)就是矩阵与自己的特征向量相乘，其结果应该等于\(\lambda_1x_1\)。那么\(AS=\Bigg[(\lambda_1x_1)(\lambda_2x_2)\cdots(\lambda_nx_n)\Bigg]\)。可以进一步化简原式，使用右乘向量按列操作矩阵的方法，将特征值从矩阵中提出来，得到\(\Bigg[x_1x_2\cdots x_n\Bigg]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}=S\Lambda\)。

于是我们看到，从\(AS\)出发，得到了\(S\Lambda\)，特征向量矩阵又一次出现了，后面接着的是一个对角矩阵，即特征值矩阵。这样，再继续左乘\(S^{-1}\)就得到了公式\((1)\)。当然，所以运算的前提条件是特征向量矩阵\(S\)可逆，即矩阵\(A\)有\(n\)个线性无关的特征向量。这个式子还要另一种写法，\(A=S\Lambda S^{-1}\)。

我们来看如何应用这个公式，比如说要计算\(A^2\)。

  • 先从\(Ax=\lambda x\)开始，如果两边同乘以\(A\)，有\(A^2x=\lambda Ax=\lambda^2x\)，于是得出结论，对于矩阵\(A^2\)，其特征值也会取平方，而特征向量不变。
  • 再从\(A=S\Lambda S^{-1}\)开始推导，则有\(A^2=S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1}=S\Lambda^2S^{-1}\)。同样得到特征值取平方，特征向量不变。

两种方法描述的是同一个现象，即对于矩阵幂运算\(A^2\)，其特征向量不变，而特征值做同样的幂运算。对角矩阵\(\Lambda^2=\begin{bmatrix}\lambda_1^2&0&\cdots&0\\0&\lambda_2^2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n^2\end{bmatrix}\)。

特征值和特征向量给我们了一个深入理解矩阵幂运算的方法，\(A^k=S\Lambda^kS^{-1}\)。

再来看一个矩阵幂运算的应用：如果\(k\to\infty\)，则\(A^k\to 0\)（趋于稳定）的条件是什么？从\(S\Lambda^kS^{-1}\)易得，\(|\lambda_i|<1\)。再次强调，所有运算的前提是矩阵\(A\)存在\(n\)个线性无关的特征向量。如果没有\(n\)个线性无关的特征向量，则矩阵就不能对角化。

关于矩阵可对角化的条件：

  • 如果一个矩阵有\(n\)个互不相同的特征值（即没有重复的特征值），则该矩阵具有\(n\)个线性无关的特征向量，因此该矩阵可对角化。

  • 如果一个矩阵的特征值存在重复值，则该矩阵可能具有\(n\)个线性无关的特征向量。比如取\(10\)阶单位矩阵，\(I_{10}\)具有\(10\)个相同的特征值\(1\)，但是单位矩阵的特征向量并不短缺，每个向量都可以作为单位矩阵的特征向量，我们很容易得到\(10\)个线性无关的特征向量。当然这里例子中的\(I_{10}\)的本来就是对角矩阵，它的特征值直接写在矩阵中，即对角线元素。

    同样的，如果是三角矩阵，特征值也写在对角线上，但是这种情况我们可能会遇到麻烦。矩阵\(A=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}\)，计算行列式值\(\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix}2-\lambda&1\\0&2-\lambda\end{vmatrix}=(2-\lambda)^2=0\)，所以特征值为\(\lambda_1=\lambda_2=2\)，带回\(Ax=\lambda x\)得到计算\(\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\)的零空间，我们发现\(x_1=x_2=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)，代数重度（algebraic multiplicity，计算特征值重复次数时，就用代数重度，就是它作为多项式根的次数，这里的多项式就是\((2-\lambda)^2\)）为\(2\)，这个矩阵无法对角化。这就是上一讲的退化矩阵。

我们不打算深入研究有重复特征值的情形。

求\(u_{k+1}=Au_k\)

从\(u_1=Au_0\)开始，\(u_2=A^2u_0\)，所有\(u_k=A^ku_0\)。下一讲涉及微分方程（differential equation），会有求导的内容，本讲先引入简单的差分方程（difference equation）。本例是一个一阶差分方程组（first order system）。

要解此方程，需要将\(u_0\)展开为矩阵\(A\)特征向量的线性组合，即\(u_0=c_1x_1+c_2x_2+\cdots+c_nx_n=\Bigg[x_1x_2\cdots x_n\Bigg]\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}=Sc\)。于是\(Au_0=c_1Ax_1+c_2Ax_2+\cdots+c_nAx_n=c_1\lambda_1x_1+c_2\lambda_2x_2+\cdots+c_n\lambda_nx_n\)。继续化简原式，\(Au_0=\Bigg[x_1x_2\cdots x_n\Bigg]\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}=S\Lambda c\)。用矩阵的方式同样可以得到该式：\(Au_0=S\Lambda S^{-1}u_0=S\Lambda S^{-1}Sc=S\Lambda c\)。

那么如果我们要求\(A^{100}u_0\)，则只需要将\(\lambda\)变为\(\lambda^{100}\)，而系数\(c\)与特征向量\(x\)均不变。

当我们真的要计算\(A^{100}u_0\)时，就可以使用\(S\Lambda^{100}c=c_1\lambda_1^{100}x_1+c_2\lambda_2^{100}x_2+\cdots+c_n\lambda_n^{100}x_n\)。

接下来看一个斐波那契数列（Fibonacci sequence）的例子：

\(0,1,1,2,3,5,8,13,\cdots,F_{100}=?\)，我们要求第一百项的公式，并观察这个数列是如何增长的。可以想象这个数列并不是稳定数列，因此无论如何该矩阵的特征值并不都小于一，这样才能保持增长。而他的增长速度，则有特征值来决定。

已知\(F_{k+2}=F_{k_1}+F_{k}\)，但这不是\(u_{k+1}=Au_{k}\)的形式，而且我们只要一个方程，而不是方程组，同时这是一个二阶差分方程（就像含有二阶导数的微分方程，希望能够化简为一阶倒数，也就是一阶差分）。

使用一个小技巧，令\(u_{k}=\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\end{bmatrix}\)，再追加一个方程组成方程组：\(\begin{cases}F_{k+2}&=F_{k+1}+F_{k}\\F_{k+1}&=F_{k+1}\end{cases}\)，再把方程组用矩阵表达得到\(\begin{bmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\end{bmatrix}\)，于是我们得到了\(u_{k+1}=Au_{k}, A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)。我们把二阶标量方程（second-order scalar problem）转化为一阶向量方程组（first-order system）。

我们的矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}\)是一个对称矩阵，所以它的特征值将会是实数，且他的特征向量将会互相正交。因为是二阶，我们可以直接利用迹与行列式解方程组\(\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2&=1\\\lambda_1\cdot\lambda_2&=-1\end{cases}\)。在求解之前，我们先写出一般解法并观察\(\left|A-\lambda I\right|=\begin{vmatrix}1-\lambda&1\\1&-\lambda\end{vmatrix}=\lambda^2-\lambda-1=0\)，与前面斐波那契数列的递归式\(F_{k+2}=F_{k+1}+F_{k}\rightarrow F_{k+2}-F_{k+1}-F_{k}=0\)比较，我们发现这两个式子在项数与幂次上非常相近。

  • 用求根公式解特征值得\(\begin{cases}\lambda_1=\frac{1}{2}\left(1+\sqrt{5}\right)\approx{1.618}\\\lambda_2=\frac{1}{2}\left(1-\sqrt{5}\right)\approx{-0.618}\end{cases}\)，得到两个不同的特征值，一定会有两个线性无关的特征向量，则该矩阵可以被对角化。

我们先来观察这个数列是如何增长的，数列增长由什么来控制？——特征值。哪一个特征值起决定性作用？——较大的一个。

\(F_{100}=c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{100}+c_2\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{100}\approx c_1\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{100}\)，由于\(-0.618\)在幂增长中趋近于\(0\)，所以近似的忽略该项，剩下较大的项，我们可以说数量增长的速度大约是\(1.618\)。可以看出，这种问题与求解\(Ax=b\)不同，这是一个动态的问题，\(A\)的幂在不停的增长，而问题的关键就是这些特征值。

  • 继续求解特征向量，\(A-\lambda I=\begin{bmatrix}1-\lambda&1\\1&1-\lambda\end{bmatrix}\)，因为有根式且矩阵只有二阶，我们直接观察\(\begin{bmatrix}1-\lambda&1\\1&1-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}?\\?\end{bmatrix}=0\)，由于\(\lambda^2-\lambda-1=0\)，则其特征向量为\(\begin{bmatrix}\lambda\\1\end{bmatrix}\)，即\(x_1=\begin{bmatrix}\lambda_1\\1\end{bmatrix}, x_2=\begin{bmatrix}\lambda_2\\1\end{bmatrix}\)。

最后，计算初始项\(u_0=\begin{bmatrix}F_1\\F_0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}\)，现在将初始项用特征向量表示出来\(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=c_1x_1+c_2x_2\)，计算系数得\(c_1=\frac{\sqrt{5}}{5}, c_2=-\frac{\sqrt{5}}{5}\)。

来回顾整个问题，对于动态增长的一阶方程组，初始向量是\(u_0\)，关键在于确定\(A\)的特征值及特征向量。特征值将决定增长的趋势，发散至无穷还是收敛于某个值。接下来需要找到一个展开式，把\(u_0\)展开成特征向量的线性组合。

  • 再下来就是套用公式，即\(A\)的\(k\)次方表达式\(A^k=S\Lambda^kS^{-1}\)，则有\(u_{99}=Au_{98}=\cdots=A^{99}u_{0}=S\Lambda^{99}S^{-1}Sc=S\Lambda^{99}c\)，代入特征值、特征向量得\(u_{99}=\begin{bmatrix}F_{100}\\F_{99}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1+\sqrt{5}}{2}&\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{99}&0\\0&\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{99}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{5}}{5}\\-\frac{\sqrt{5}}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}c_1\lambda_1^{100}+c_2\lambda_2^{100}\\c_1\lambda_1^{99}+c_2\lambda_2^{99}\end{bmatrix}\)，最终结果为\(F_{100}=c_1\lambda_1^{100}+c_2\lambda_2^{100}\)。

  • 原式的通解为\(u_k=c_1\lambda^kx_1+c_2\lambda^kx_2\)。

下一讲将介绍求解微分方程。

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